弹性力学平面问题

弹性力学的二维问题。这类问题共有2个位移分量（u_i）、3个应变分量（ε_ij）和3个应力分量（σ_ij=σ_ji），共8个未知函数，并且它们只是2个坐标x_i的函数（i，j=1，2）。当弹性体具有特殊形状，承受特殊外力时，才可简化为平面问题。

平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

平面应力问题

弹性等厚薄板的两个表面上无外力，而在侧面上有平行板面方向且沿厚度均匀分布的荷载及约束（图1），则薄板中的应力有如下特点：σ₃3=σ₃1=σ₃2=0，且σ_ij和ε_ij都与坐标x₃无关。

图1 平面应力问题

平面应变问题

常截面柱体的两端面固定不动，而作用在侧面上的荷载和约束均平行于横截面方向，且沿x₃方向不变（图2），则柱体中间部分的应变和位移有如下特点：ε₃₃=ε₃₁=ε₃₂=0，纵向位移u₃=0，且ε_ij和u_i都与坐标x₃无关。

图2 平面应变问题

求解平面问题的方法一般有应力法和位移法两种。在应力法中，当体力为零时，应力分量可用一个应力函数（φ）表示如下：

而φ是一个平面双调和函数，即

对于平面应变问题，也可以用一个双调和应力函数（φ）来表示，但须将有关方程中的E和μ分别用E/（1-μ²）及μ/（1-μ）代替。

平面问题的许多经典解答大都是用应力法求出来的。例如，半平面受集中力解答、楔形体解答、厚壁圆筒解答，以及许多孔口问题的解答等。在水利工程中，上述解答均有重要应用。