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随机振动

2020-04-09 21:01

不能用确定性函数描述,但具有一定统计规律的振动,又称非确定性振动(nondeterministic vibration)。例如,飓风引起高层建筑的振动,海浪激起海上平台的振动,以及结构受地震作用产生的振动等。在确定性振动中,系统、激励和响应之间具有确定的关系;而在随机振动中,只能求出它们之间的统计特性关系。

随机振动应用概率方法描述。概率表示随机事件出现可能性的大小。随机振动的某一次实践xi(t)称为样本。相同的条件重复实践,得到的各次实践时间历程的总体构成一个集合{x1(t),x2(t),…},称为随机过程,记为X(t)。随机过程X(t)在瞬时t取值不大于x的概率,可以定义一维概率分布函数

由此导得一维概率密度函数

同样可以定义多维概率分布函数与概率密度函数。由概率密度函数可以定出各种统计数字特性。例如,各次矩可定义为

式中,E{·}表示集合平均。容易看出:一次矩即随机过程的平均值(μx),二次矩即均方值(ψ2x),二次中心矩

称为方差,它的平方根称为标准差。平均值反映随机过程的总倾向,均方值常常和能量相联系,方差则表示随机变量和均值的离散程度。

平均特性可分为集合平均与时间平均两种,前者对集合求平均,后者对单个样本求平均。随机过程视其统计特性是否随采样时间不同而变,可分为平稳过程和非平稳过程。根据集合平均特性是否等于时间平均特性,随机过程还可分为遍历(各态历经)的和非遍历的。遍历的随机过程一定是平稳的,但平稳的随机过程不一定是遍历的。

平稳随机过程X(t)的自相关函数Rx(τ),定义为乘积x(t)·x(t+τ)的集合平均值。它是时移(或时差)τ的函数。自相关函数Rx(τ)和自功率谱密度函数(简称自谱)Sx(ω),两者存在着傅氏变换对关系,即两者存在着傅里叶变换和逆变换关系:

当τ=0时,自相关函数为最大值,且等于均方值。

由此可见,Sx(ω)是X关于频率ω的均方谱密度。

自相关和自谱是由同一个随机过程得出的统计特性。对于X、Y两个不同的随机过程,类似地可以得出互相关函数Rxy(τ)和互谱密度函数Sxy(ω),且两者同样存在傅氏变换对关系:

功率谱的形状常被用来作为随机过程的标志。如在随机振动试验中,各种基准谱都是按谱形来规定的。谱形的两个极端情况分别称为窄带过程和宽带过程。前者功率谱具有尖峰,其频率分量大都分布在尖峰附近的一个很窄的频带内;后者的频率分量分布相当宽,带宽至少与其中心频率有相同的数量级。宽带过程的极端情况是白噪声,其频率分量均匀地分布于无限带宽内。当激励的带宽可以覆盖着系统所有固有频率时,把它视为白噪声可以简化计算。

用自谱和互谱可以定义相干函数。单激励(x)和单响应(y)之间的常相干函数为

对于多激励单响应,以及多激励多响应的情况,还可给出相应的多重相干函数和偏相干函数,这些相干函数可用来确定系统的频率特征、识别噪声污染程度,以及了解振动传递路径等。

正态过程亦称高斯过程,是随机振动中一类特别重要的过程。它可用来近似地描述许多自然现象,正态过程的线性变换仍然是正态过程,且只要知道正态过程的一次矩、二次矩就可以确定概率密度函数,这给计算带来很大方便。

常系数线性系统受平稳随机激励(X)作用,产生平稳随机响应(Y),两者的平均值关系为μy=H(0)μx,而功率谱关系为Sy(ω)=|H(ω)|2Sx(ω),其中,H(ω)为系统的频率特性。若已知H(ω),可由Sx(ω)计算响应特性Sy(ω),也可由已知H(ω)、Sy(ω),识别激励特性Sx(ω)。求得功率谱后就不难求出相关函数和均方值。根据响应穿越某水平次数的越界概率,以及响应超越某水平峰数(或谷数)的峰值分布,还可进行系统的可靠性分析。

随机振动的研究是从质点的布朗运动开始的,爱因斯坦发现这些不规则的运动可以用概率的规律来分析。美国数学家维纳1923年开始把布朗运动作为随机过程来研究,并很快地把随机过程发展成现代的理论体系。噪声问题及其在控制工程中的应用,导弹和航天技术的发展,以及高速计算机、快速算法的发展,使随机振动理论在工程中的应用越来越广泛。例如,复杂结构的响应问题、主动控制问题、通信技术中的滤波问题、声纳探测潜艇问题,以及生物数学模型的建立问题等。

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