欢迎您来到全国水雨情信息网站! 2021年1月28日 星期五
 
  当前位置: 首页--水利百科--工程力学、岩土力学、工程结构及材料--工程力学

变分法(固体力学)

2020-04-09 21:00

以变分原理为基础导出的固体力学问题的计算方法。变分法是求解泛函极(驻)值问题的直接法。泛函的极(驻)值条件是以变分形式表述的某种物理定律,构成了某种变分原理。变分法就是根据这个变分原理导出的求解自变量函数变化规律的方法。变分法是由固体力学中的最小势能原理、最小余能原理、哈密顿原理等变分原理导出的求解相应能量泛函的自变函数(如位移、应力等)的计算方法。例如位移变分法、应力变分法、混合变分法等。

变分问题可以转化为等价的微分方程问题。如在固定边界条件下,使泛函:

取极值的函数y(x)满足下列微分方程:

式(2)称为欧拉方程,它与变分问题的解是等价的。即对同一物理问题,存在着微分方程和变分方程两种等价的数学描述方法。在求近似解时,变分法比直接解微分方程更为方便。因此变分法日益受到重视,并成为计算力学中的一个重要方法。

变分法经历了古典变分法和有限单元法两个阶段。

在古典变分法中,最著名的是瑞利—里茨法。它是由英国瑞利(L. Rayleigh)于1877年和瑞士里茨(W.Ritz)于1908年先后提出的一种通过泛函驻值条件求未知函数的近似方法,在许多力学、物理学问题中得到了有效的应用。如应用最小势能原理求解弹性体的位移时,可以预先假定其位移函数u、v、w分别为一组满足位移边界条件的连续函数ui(x,y,z)、vi(x,y,z)、wi(x,y,z)(i=1,2,…,n)的线性组合,即

式中,Ai、Bi、Ci为待定系数,共有3n个。

将式(3)代入势能泛函(Πp)的表达式,并根据Πp的极值条件:

得到求解Ai、Bi和Ci的3n个代数方程。将其结果代入式(3),便可求得弹性体的全部位移,进而求出应变和应力。由于瑞利—里茨法假设的位移函数可以不满足面力边界条件,因此构造位移函数比较容易,计算也较方便,但有时求出的应力误差较大。

布勃诺夫—加廖尔金法也是古典变分法中的常用方法之一。它由俄国布勃诺夫(И.Г.Бубнов)于1913年提出,由加廖尔金(Б.Г.Галёркин)推广应用。它也可由最小势能原理导出,但它所选择的位移函数u、v和w不仅要满足位移边界条件,而且要满足面力边界条件,即

,其形式与式(3)相同。但在求解待定系数Ai、Bi和Ci时,可直接利用δΠp=0导出方程(5):

由于预先假定的位移函数满足

,所以

将式(3)代入式(5)后,便可得到求解3n个待定系数Ai、Bi和Ci的代数方程组,应用其结果便可由式(3)求出位移,进而求得应变和应力。此法的优点是直接由式(5)求解Ai、Bi和Ci,而无需计算势能泛函Πp;其缺点是构造能满足全部边界条件的位移函数比较困难。

式(5)表明,预先假定的位移函数并不要求在域内满足平衡条件,因此(σij,j+f)并不为零,而有残差(或余量)。通过调整位移函数中的待定系数Ai、Bi和Ci,可使残差和一阶位移变分δui(视为加权函数)的乘积在全域内的积分为零,从而得到一个合理的近似解,这就是加权余量法的基本思想。

古典变分法还有其他的形式,如屈雷弗兹法、康托诺维其法、最小二乘法、配置法等。

有限单元法是20世纪50年代以后出现的变分法和分片插值相结合的产物,现已成为计算力学中适应性很强、应用很广的方法。

责编: system