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岩体有限元分析

2020-04-09 21:02

将岩体离散为有限个单元的组合体,以近似求解岩体内有关力学问题的数值分析。它是工程力学中的有限单元法对岩石力学分析的具体应用。20世纪60年代,有限单元法始用于岩石力学领域,经过30多年的发展,有限单元法已成为解决岩石工程问题的最常用和最有效的方法之一。

图1 支墩坝及其岩基的有限单元划分图

岩体有限元分析包括3个主要步骤:离散化、建立单元劲度矩阵、组装整体劲度矩阵。以各向同性岩体的平面应变问题为例,图1表示支墩坝及其地基用三角形单元离散化的图形,分析用的计算方法是位移法,解题的基本未知量为各结点位移。

图2是图1 离散体中的一个单元。结点力{F}e={Ui Vi Uj Vj Um Vm}T,可用结点位移{δ}e={ui vi uj vj um vm}T表示为

式中,[k]为劲度矩阵,是一个6×6的矩阵,用式(2)计算。

式中,[B]为与单元形状和面积有关的3×6的矩阵;A为单元面积;[D]为单元弹性矩阵,对于各向同性岩体

式中,E为岩体弹性模量;μ为岩体的泊松比。

求得单元劲度矩阵[k]后,再将各单元劲度矩阵进行组装,得出坝和岩体的整体劲度矩阵[K],然后用式(4)求解结点位移。

式中,{R}为系统的结点荷载列阵。

解出结点位移后,进而可求出各单元的应力和应变。

图2 三角形单元

横观各向同性岩体分析

岩体在形成过程中有层理、片理等特征,或在某一方向有非常发育的节理系。沿着层理(片理或节理系)方向与垂直层理方向的弹性常数差别很大。这种岩体可作为横观各向同性岩体计算。若横观各向同性岩体的弹性主向与计算所取坐标系的方向一致,则在有限元分析时只需将式(3)的弹性矩阵代以下列弹性矩阵

其中n=E1/E2, m=G2/E2

式中,E1和E2分别为平行和垂直各向同性面的弹性模量;G2为决定各向同性面方向与垂直此面方向间夹角变化的剪切模量;μ1为在各向同性面内压缩时,决定同一平面内膨胀的泊松比;μ2为在垂直各向同性面的方向压缩时,决定该面内膨胀的泊松比。

单元劲度矩阵按式(5)取为[k0]=[B]T[D0][B]A。凡与弹性矩阵无关的处理和运算都与前述各向同性岩体相同。若弹性主向与所取坐标系方向成β角,则弹性矩阵用式(6)计算:

式中,[L]为应变变换矩阵。劲度矩阵按式(6)相应运算。

无拉应力分析

岩体因有裂隙而实际上不能承受拉应力,或抗拉强度甚小,受拉后开裂,实际上无拉应力。模拟岩体这一性能可采用无拉应力分析法。其步骤为:

(1)进行弹性分析,计算各单元的主应力,并叠加荷载前的初始应力。

(2)对出现主拉应力{σ-e的单元,在其结点处对单元加“约束力”{F0}e,三角形常应变单元的{F0}e

(3)对结点施加与该力相等而方向相反的结点荷载,然后用这些结点荷载对整个岩体系统作应力分析,算出的应力加到上一阶段的应力上去。

(4)若主拉应力仍存在,则重复步骤(2)、(3),直到拉应力很小可忽略为止。

断层、裂隙和软弱夹层分析

宽度大而且充填松软物质的断层,可看作是无应力的边界。较狭窄且充填糜棱岩的断层,可看作是很薄的各向异性层,如图3(a)阴影线所示。剪切模量和平行于断层方向的模量取小而有限的值(例如两侧岩石取1×10-2~1×10-3),采用一般有限元程序;或者在断层内设置连杆单元进行计算,如图3(b)所示。若连杆单元发生拉应力,则再用无拉应力分析法,直至拉应力不存在。

图3 断层的有限元分析

(a)断层是各向异性层;(b)在断层内设置连杆单元

一般紊乱不规则的裂隙,可用降低岩体力学参数的方法考虑其影响。对于一些在特殊方位上影响较大的闭合裂隙,可以设置专门的裂隙单元(接触面单元)进行应力分析。裂隙单元是一种无厚度的理想化矩形单元。对于岩体内厚度仅几十厘米、几厘米或更薄的薄夹层和软弱夹层,可用薄层单元或夹层单元进行应力分析。薄层单元是很薄的一般矩形单元。如果岩体应力分析采用四边形单元或等参数单元,则薄层单元劲度矩阵的形式与四边形单元或等参数单元的一样,便于编制计算程序。

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