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岩体边界元分析

2020-04-09 21:02

将岩体的控制方程和定解条件化为区域边界积分的积分方程,并把边界离散为有限个边界单元,建立相应的代数方程组来求解岩体问题的分析方法。这一方法常用于岩体工程的静力分析、动力分析、弹塑性分析、流变分析和渗流问题。 该方法的优点是:计算机计算时输入数据少,计算精度较高,尤其适用于分析岩体工程中经常涉及的无限域与半无限域问题。对于无限域问题,若用有限元或差分法计算,需进行近似处理,即用适当的有限域去替换无限域。此外,像渗流问题的计算中,常出现部分边界面(如浸润面)多次变动的情况,这时采用边界元分析,就比其他方法更为简捷。

现以边界元静力分析为例,说明方法的原理与应用(参见边界单元法)。根据静力学的控制方程以及相应的定解条件,可推出确定岩体区域中任一点位移的积分方程为

其中

式中,CI为常数,当I点为内点时CI=1,当I点为边界点时CI=1/2;uIl为I点l方向的位移;uk、pk分别为边界点沿k方向的边界位移与边界面力;u*lk、p*lk分别为位移与面力的基本解;r为原点到场点的距离;xl、xk(l,k=1,2,3)为场点的坐标;nl、nk(l,k=1,2,3)为边界面法向余弦;G、μ分别为岩体弹性剪切模量和泊松比;δ为Dirac Deta函数;A、S、fk分别为区域、区域边界以及单位体积的体积力。

由式(1)可推出确定区域任一内点的应力公式:

用解析法求解积分方程(1)是困难的,因此实际计算中常采用数值解法。现以平面问题为例说明具体解法。首先,将边界S分割成N个单元,第ΔJ单元的边界以ΔSJ表示,当ΔSJ很小时,其上的位移uJ1、uJ2和面力pJ1、pJ2可看成常量,在不考虑体积力的情况下,将式(1)写成

或写成

其中

将式(4)依次对各单元ΔSJ的中点写出l=1与l=2的方程,由此可得2N×2N的线性方程组

其中

具体计算时,先将边界上的已知位移与面力代入式(6),由此求出边界上所有未知的位移与面力,当边界上各点的位移与面力全为已知时,最后即可由式(1)与式(3)分别求出区域内任一点的位移与应力。

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