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地图投影

2020-04-09 21:01

按照一定的数学法则,将地球表面的经纬线相应转绘到平面上的方法。由于用椭球(或球)表示的地球表面是不可展曲面,将地球表面上经纬线网描绘成平面上的图形必然会产生变形。地图投影的变形可分为长度变形、面积变形、角度变形。为了适应不同的地图用途,可以控制变形的性质和分布。

地图投影的分类

地图投影可以按变形性质、辅助面与地球椭球(或球)的相对位置、正轴投影时的经纬线形状进行分类。

(1)按投影变形性质分类。①等角投影。投影后1个点的2个方向间的夹角大小保持不变,或者说能保持微小面积的图形同实地相似,又称正形投影。②等面积投影。能保持地图上的面积经同比例尺放大后与实地面积相等,又称等量投影。③任意投影。既有角度变形,也有长度和面积变形的投影,但其变形大小都较为适度。其中,可以使某个方向上的长度不变形,称为等距离投影,是任意投影的一个特例,其面积变形比等角投影小,形状变形比等积投影小。

图1 投影方法

投影时常使用某种可展曲面,如圆锥面、圆柱面、平面,作为投影的辅助面。辅助面是圆锥面时称为圆锥投影,是圆柱面时称为圆柱投影,是平面时称为方位投影。

(2)按辅助面与地球椭球(或球)的相对位置分类。有图1的3种情况:①正轴投影。投影面的中心线与地轴一致,又称正投影,极投影。②横轴投影。投影面的中心线同地轴垂直,又称横投影,赤道投影。③斜轴投影。投影面的中心线同地轴斜交,又称斜投影,地平投影。

辅助面与地球表面接触的那条线上没有任何变形,称为标准线。如果这条线是经线称为标准经线,是纬线称为标准纬线。为了控制变形的大小和分布,可将辅助面同地球相切或相割。对于方位投影,相切时只有1个标准点,相割时有1条标准线;对于圆锥和圆柱投影,相切时有1条标准线,相割时有2条标准线。

(3)按正轴投影时经纬线的形状分类。①圆锥投影。纬线投影成一组同心圆弧,经线为圆的半径,其夹角同经差成正比例。②圆柱投影。纬线投影成一组平行直线,经线为垂直于纬线的另一组平行直线,且相邻经线间的距离相等。③方位投影。纬线投影为一组同心圆,经线为同心圆的半径,两经线间的夹角与相应的经差相等,又称平面投影,天顶投影。

有些投影不设辅助面,而是设置其他一些约制条件,如:①伪圆锥投影(图2)。纬线投影成同心圆弧,圆心在中央经线上,其他经线为对称于中央经线的曲线,该投影不可能有等角投影。②伪圆柱投影(图3)。纬线投影为一组平行直线,中央经线为直线,其他经线为对称于中央经线的曲线。③伪方位投影(图4)。纬线投影为同心圆,圆心位于中央经线投影的直线上,其他经线为交于圆心对称于中央经线的曲线。④多圆锥投影(图5)。纬线投影为同轴圆弧,圆心位于中央经线投影的直线上,其他经线为对称于中央经线的曲线。

图2 伪圆锥投影

图3 伪圆柱投影

图4 伪方位投影

图5 多圆锥投影

地图投影的命名

一个完整的地图投影的名称应能体现投影变形、经纬线形状、辅助面与地球的相对位置,例如双标准纬线等角圆锥投影。有时也用它的创造者的名字命名,例如墨卡托(Mercator)投影。

地图投影的变换

在计算机制图条件下,必须研究从一种投影变为另一种投影的理论和方法。地图投影变换是2个平面场之间点的坐标变换。其方法有:

(1)解析变换法。找出2种投影间坐标变换的公式。按变换方法可分为:①反解变换法。按原地图投影的公式,由已知点的直角坐标(x,y)反解出地理坐标(φ,λ),再代入新地图投影的公式解出新投影中的直角坐标(X,Y),即(x,y)→(φ,λ)→(X,Y)。②正解变换法。直接求出2种投影间直角坐标的关系式,由旧的坐标变为新的坐标,即(x,y)→(X,Y)。③综合变换法。将正解和反解结合起来,根据原投影中已知点的x坐标反解出纬度φ,再根据(φ,y)求出新投影中相应点的直角坐标,即(x,y)→(φ,y)→(X,Y)。

(2)数值变换法。用二元幂多项式建立2种投影间的变换关系式,反解多项式的系数。为此,需要在地图上选择多于待解系数个数的对应点并确定其各自的直角坐标,建立法方程组,用最小二乘法原理解出相应的系数。这是一种用逼近方式的正解变换法,一般不会高于3次项,即10个系数。

(3)半数值法。在知道新投影的方程但不知道原投影的方程式时,可用上述多项式方法建立原投影的直角坐标同经纬度的关系,再由经纬度经新投影的方程式求得直角坐标,从而实现2种投影之间的变换。

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