径流调节的概率法

应用径流的统计特性，按概率论原理对年内、年际入库径流的不均匀性进行调节的径流调节计算方法，在中国又称径流调节的统计法。概率法主要适用于多年调节计算，所得成果以调节流量、蓄水量、弃水量、不足水量等的概率分布或保证率曲线（参见水文统计）的形式给出。其基本假定是年径流量具有典型的概率分布而且是平稳的。

多年调节水库的总调节库容，可由年库容和多年库容两部分组成。前者用于年内水量的调节，后者用于年际间水量的调节。这两部分库容既有区别又有联系。应用概率法求解，曾先后提出过各种方法，总的可归纳为直接求总调节库容法和分别求年与多年调节库容法这两类。

直接求总调节库容法

已提出的方法很多，较有代表性的解法是：已知多年的月（或旬）径流过程，根据各部门的总用水要求及其分配过程，用时历法求出各年的年库容，再据以确定年库容的保证率曲线；用概率法求出多年库容的保证率曲线。根据年库容保证率曲线及多年库容保证率曲线，应用全概率公式计算方法（又称组合频率法），求出年库容及多年库容之和的总库容保证率曲线。该曲线上相应于设计保证率的库容，即为所求的多年调节的总调节库容。这类方法理论上较严谨，但计算相当复杂，实际应用比较困难。

分别求年与多年调节库容法

年调节库容用时历法计算，多年调节库容用概率法计算，将两部分库容相加即可求得总的调节库容。这类方法在理论上不够严格，但比较简单，特别是可以应用多年径流调节线解图直接求多年库容，应用较广。应用概率法求多年调节库容一般可分为解析法与数值法两种。

（1）解析法。当相邻年径流相互独立时，根据水量平衡方程（参见径流调节计算），应用全概率公式，可导出水库蓄水概率分布函数的积分方程［式（1）］作为求解析解的依据。

式中，α为调节系数；β为库容系数；y、x分别为水库调节年度年初及年末蓄水量与多年平均径流量之比；Φ（y）为y的概率分布函数；Φ（x）为x的概率分布函数；f（ ）为年径流概率密度函数，为积分方程的核。

积分方程的自然项与核的关系为

当相邻年径流存在系列相关时，亦可导出相应的积分方程，但非常复杂。用解析法计算多年调节库容相当困难，很少直接用于解决实际问题，其最主要的特点是可用作评价数值法优劣的准则。

图1 水库来水量保证率曲线

（2）数值法。可直接应用线性代数方程组并通过电子计算机求解，速度快、精度高，可以解决许多复杂的多年调节计算问题。其基本方法：已知年初水库蓄水量、年来水量及用水量，通过水库水量平衡方程（V_i+1=V_i+W_i-W_o），求出年末蓄水量，蓄水量应限制在库空与库满之间。如果年初蓄水量及年来水量不是确定值，而是具有概率分布的随机变量，则年初蓄水量与年来水量这两个随机变量之和（V_i+W_i）的概率分布，可以采用全概率公式计算求出，减去已给定的年用水量W_o，所得到的年末蓄水量也是具有一定概率分布的随机变量。前一年末的水库蓄水量概率分布即为后一年初的水库蓄水概率分布，依次可求出第2、第3、……、第n年末的水库蓄水量概率分布。当n足够大（实用上一般为5～7年）时，水库蓄水量概率分布不依赖于初始蓄水状态而收敛到极限分布，称稳定蓄水量保证率曲线。在该曲线中，水库放空的保证率即为正常供水保证率。上述逐步逼近的方法很麻烦，可通过线性代数方程组直接求解稳定蓄水保证率曲线。具体步骤：①已知水库来水量保证率曲线（图1）、正常供水量（W）、多年调节库容（V）。②水库初蓄保证率曲线假定为图2中的abcdef，e点的纵坐标为V/2。③将初蓄保证率曲线划分为fa、ef、de、cd4段，分别以gh阶梯代替ef段，以km阶梯代替de段。④假设水库放空的概率为x₁（即fa），蓄水在0～V/2之间的概率为x₂（即gh），蓄水在V/2～V之间的概率为x₃（即km），满蓄的概率为x₄（即cd）。⑤将水库来水量保证率曲线的横坐标（即保证率）分别乘以x₁、x₂、x₃、x₄后叠加在fa、gh、km、cd等阶梯上。⑥根据蓄水保证率曲线原理，由图2可建立求解蓄水保证率曲线的线性代数方程组

图2 水库蓄水保证率曲线

采用迭代法求解式（3），求得x₁、x₂、x₃、x₄，则水库各种蓄水保证率可由式（4）求得。

水库正常供水保证率即水库放空的保证率P（0）。

线性代数方程组的未知数（即阶梯数）究竟取多少比较合适，要依据实际情况决定。

以上基本方法及计算原理可推广应用于总调节库容的求解。

径流调节的概率法特点：概率法仅需要年径流的概率分布或保证率曲线便可进行计算，故可用于资料短缺地区；可用于供水量与来水量具有统计相关的调节计算，如灌溉变动供水调节计算；对调节程度较高的多年调节，能考虑径流的各种可能组合情况；计算方法虽然比较复杂，但已作出许多有关线解图，便于应用。