斯托克斯波

采用以波陡（H/L）为小参量的幂级数展开的方法，考虑高阶非线性效应的有限振幅波。因由斯托克斯（G.G.Stokes）提出而得名。斯托克斯波也是一种无涡的、波面呈周期性振动的前进波。高阶的斯托克斯波的水质点运动轨迹虽仍接近于圆（深水）或椭圆（浅水），但是不闭合。水质点运动一个波周期后沿着波浪传播方向有一水平净位移，存在质量输移（mass transport）现象。一般，阶数愈高愈精确，但运算也愈繁难。

设流体为不可压缩、无黏滞性理想流体。运动为无涡的，其水流连续方程为拉普拉斯方程

水底边界条件为

设将流速势函数φ和自由表面波面函数η两个未知量写成小参数ε的幂级数展开式

显然，每一项φ_n都是拉普拉斯连续方程式（1）的解，同时也满足水底边界条件和自由表面边界条件。在自由表面z=η（其水质点的初始位置为z=0），流速势函数（φ）用泰勒级数展开式可写成

将式（4）引入非线性的自由表面z=η的运动条件：

和自由表面z=η的动力条件：

可得

和

式（6）可分解成

一阶

二阶

n阶

显然，一阶近似解就是线性微幅波。其余各阶可依次由已知的φ_n-1和η_n-1解出φ_n和η_n，都满足▽²φ_n=0和

二阶斯托克斯波的基本特征值为：

（1）流速势函数（φ₂）

式中，ω为波圆频率，ω=2π/T；k为波数，k=2π／L；θ为相位角，θ=ωt-kx；a为波振幅；L为波长；T为波周期。

（2）波面函数（η₂）

（3）波浪中线超高（ζ₂）

（4）波速（C₂）

（5）质量输移速度

无回流时

令d=L/2，代入式（10）～（14）即可得深水情况的二阶斯托克斯波结果。

二阶斯托克斯波的φ₂和η₂略去含a²k项，则得到一阶斯托克斯波即线性微幅波的流速势函数（φ）和波面函数（η）。

二阶斯托克斯波波面形状上下不对称，深水情况的自由表面处波浪中线超高ζ₂=πH²/4L与格斯特纳（F.J.Gerstner）的有限振幅深水前进波一余摆线波的ζ相同。二阶斯托克斯波的波速（C₂）与微幅波的波速（C）相等。当波陡较大、相对水深较小时，二阶斯托克斯波在波谷处将出现二级峰谷，这种情况宜采用高阶斯托克斯波。