潮波数学模型

根据流体动力学方法建立潮波运动基本方程，运用近代计算数学的原理和方法，在给定海域进行数值求解，以求得该海域的潮汐和潮流变化特征。1775年拉普拉斯（P.S.Laplace）创立潮汐动力理论，把流体动力学的基本方程应用于研究地球上的潮汐。但是，潮波运动基本方程的求解存在着数学上的巨大困难，对真实的海洋，如世界大洋、大洋的边缘海或大陆沿海海洋工程所在的局部海域难以求得其解析解。随着近代计算技术的进步，将潮波基本方程进行数值离散，用计算机可求得近似解。

海洋潮汐现象是一种长波运动。水质点运动在铅直方向上表现为潮汐的升降，水平方向表现为潮流。为了复演和预测海洋的潮汐、潮流现象，有两种模拟手段。一种是水力比尺模型，即物理模型，另一种是数学模型。数学模型虽然自20世纪20年代前后戴芬（A.Defant）（1918）、斯特纳克（R.Sterneek）（1928）等对一维潮波方程进行了求解，50年代汉生（W.Hansen）（1952）对北海二维潮波作了数值计算，但真正意义上的数学模型是70年代后随着电子计算机取得飞速发展才兴起的。随着大容量、高速度、多功能电子计算机的发展和现代计算方法的进步，潮波数学模型得到了快速的发展和广泛应用，成为与物理模型相互印证、又互为补充的两种重要的研究手段。

潮波数学模型根据水域的大小，可分为全球潮波数学模型、边缘海潮波数学模型和近岸局部水域潮波数学模型。根据所描述的水质点的空间要素，有一、二、三维潮波数学模型和一、二维，二、三维，甚至一、二、三维联合模型。潮波数学模型有两种方式进行基本方程的数值计算，一种把海区潮汐问题作为边界值问题处理，称边值法；另一种作为初始值问题处理，称初值法或流体动力学数值法（Hydrodynamical Numerical Method）。前者将潮汐分潮波的表达式消除时间因子，把潮波基本方程转化为椭圆形偏微分方程，根据闭边界和开边界的潮汐资料求其在域内的数值解；后者对给定的水域给出全域的初始值和开边界上随时间变化的边界控制值，逐时步地数值求解潮波基本方程。边值法是20世纪50年代和60年代初电子计算机还不普及时，W.汉生提出的利用海区周边的潮汐资料，只要计算海区内两个时刻的潮位，便可求得海区的潮波分布。从计算量来说，这种方法特别经济，因而获得了一定的应用，并取得相当的成功。但需要求解一个线性代数方程组，比较繁难。而且当考虑了方程的非线性后，特别当对许多分潮同时考虑而进行计算时，问题变得相当繁复。对某些问题的求解，边值法也受到限制。因此，自从60年代开始，应用边值法的人相对越来越少，而普遍转而采用更简单、但更灵活的初值法。初值法，从计算方法来说，可以用有限差分法，也可以用有限元法，目前，以有限差分法用得较多。根据对潮波方程离散格式的不同，差分法又有许多具体的方法。

二维潮波数学模型

根据实际潮波具有长波的性质，并考虑海底摩擦和海水的紊动特性，二维全球强迫潮波基本方程为

式中，λ、φ为经度、纬度；u、v为λ、φ方向的流速分量；ζ为未扰动海面起算的潮高；R为地球半径；ω为地球自转角速率；h为水深；

大洋水体在引潮力作用下，产生强迫潮波并向外传播，引起边缘海的潮汐振动。而引潮力对边缘海本身水体引起的潮汐，不足3%～4%。所以边缘海的潮汐可看作是自由潮波。式（1）的运动方程中略去强迫力，即为边缘海潮波数学模型的基本方程。如果海区范围不很大，可以忽略地球表面曲率变化，还可采用直角坐标系的自由潮波基本方程。边缘海通常以开边界与大洋沟通。数值求解时，必须给出开边界的潮位或潮流随时间的变化作为边界控制。

大陆岸边或河口地区，海洋工程所在的局部水域，水深不大、岸线曲折、水下地形复杂，潮汐潮流的分布变化较深海大，潮波模型基本方程应考虑对流项。其非守恒型运动方程为

连续方程：

上述潮波模型基本方程都属于平面二维，即u、v是流速从海面到海底积分的平均值。

在海岸、河口的某些水域，水面较窄，如河口的深槽段、潮汐通道等，潮流沿水深方向的分布甚为重要，平面二维模型难以应用，宜改用沿河宽横向平均的垂向二维模型。其基本方程为

式中，u、w为横向平均流速在x、z方向分量；B为河口或潮汐通道宽度；ζ为基准面起算的水位；h为水深；ρ为海水密度；p为压强；μ_x，μ_z为x、z方向紊动扩散系数。

二维潮波模型利用潮波的长波特性，水质点的压强p取静压分布，将三维空间问题简化为二维的平面问题，在保证能基本正确地复演和预测潮波传播的时间空间变化的同时，大大减少计算量，使模型的开发容易，因而获得广泛应用。全球潮波数学模型自20世纪70年代开始即由扎黑尔（Zahel）（1970）、亨德肖特（M.C.Hendershott）（1972）、马尔丘克（Марчук）（1977）等多次进行数值模拟，获得许多比前人所得的图形复杂得多的大洋潮汐图，进一步揭示真实大洋的潮波系统。而边缘海和近岸局部水域的潮波模型，在研究实际海区的潮汐性质、潮波运动特性等发挥重要作用。现代潮波模型与海洋开发、海洋环保、海岸防护、海上交通和海洋军事活动等紧密联系，解决大量生产实际问题。中国东部海区（东海、黄海、渤海）、南中国海作为太平洋的边缘海，潮波运动的能量来自西北太平洋的旋转强迫潮波。青岛海洋大学（1980）、中国科学院海洋研究所（1992）、海军海洋测绘研究所（1994）分别对这两个大海区或部分海区进行潮波数值模拟研究。河海大学（1990）从海洋工程实际和海岸风暴潮灾害防御的需要出发，建立中国东部海区潮波预报模型，采用8分潮模式，边界控制多取自日本硫球岛链实际潮汐资料，比较准确地预报大陆近岸海上任一经、纬度、任意日期的潮位，多次为闽浙、长江口和江苏沿岸局部水域的潮流场计算提供控制开边界，取得很好的效果。

近岸局部水域的潮波模型与生产实际需要解决的问题关系最为密切。对近岸潮波基本方程的离散和离散后代数方程组求解方法的研究，成为研制潮波数值模拟的主要内容。有限差分法因原理、推导和编程比有限元法简单，得到广泛应用。差分型式有三角形、正方形、矩形、四边形、多边形、曲线坐标网格以及各种形状网格的组合；计算方法有显式、隐式、显隐混合等；具体有三角元法、ADI法（Alternating Direction Implicit Method，显隐交替法）、破开算子法、单元体质法、MAD法（Moving ADI Method，移步双向交替显隐交错法）、准分析法、贴体坐标法等。

三维潮波数学模型

研究近岸局部水域的海岸演变、海底变形及泥沙运动、水质污染扩散、咸淡水混和等课题时，二维潮波模型常难以满足需要。相继开发了三维潮波模型，并成功应用于生产实践。三维潮波模型的基本方程为

式中，ν_t为紊动黏性系数，与流动特征有关；ρ为水体的密度；p为三维水体的压力场。

三维潮波模型比二维模型复杂得多，20世纪70年代开始研究，近十年来取得显著进展；国内起步较晚，但进展也较快，计算方法已有：垂向分层二维法；破开算子法；直接求解法；边界拟合法；伸缩坐标变换法；动水压力校正法。